συνάρτηση…

λέγεται μία διαδικασία (κανόνας, αλγόριθμος) µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου αντιστοιχίζουμε ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου.

η διαδικασία αυτή μπορεί να περιγράφεται με ισότητα της μορφής y=f(x) (τύπος της f) 
η οποία εκφράζει τη σχέση εξάρτησης του y από το x

ξεφεύγοντας για λίγο από τα μαθηματικά μπορούμε να πούμε ότι συνάρτηση ειδικότερα είναι η σχέση εξάρτησης δύο μεγεθών π.χ. του διαστήματος  s  και του χρόνου  t  στη Φυσική ή της τιμής πώλησης  P  και του κόστους παραγωγής  K  στην Οικονομία

για την ονομασία μίας συνάρτησης (αν της δώσουμε όνομα !) και τον συμβολισμό των μεταβλητών της μπορούν  να χρησιμοποιηθούν οποιαδήποτε γράμματα Λατινικά ή Ελληνικά πεζά ή κεφαλαία έτσι π.χ.ο κανόνας (συνάρτηση):

            «πενταπλασίασε έναν αριθμό αφού τον πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό του»  
μπορεί να περιγραφεί με τις εκφράσεις: f(x)=5x² ή y=5x² ή h(x)=5x² ή h=5t² κ.α. 

θα ασχοληθούμε με πραγματικές συναρτήσεις (δηλ. f(D_f)⊆R)  
                       μίας πραγματικής μεταβλητής (δηλ. D_f⊆R)

για παράδειγμα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= είναι το D_f=(-1,0)U(0,3]

                                                             (αφού πρέπει: 3-x≥0  και x≠0  και  x+1>0)

ενώ το εμβαδόν (ως συνάρτηση της βάσης x) ενός ορθογωνίου με περίμετρο 40,

είναι: Ε=xy=x(20-x)   (αφού 2x+2y=40, συνεπώς y=20-x)

              δηλαδή: Ε(x)=x(20-x) με D=(0,20) 
                                        (αφού είναι x>0 και y>0 δηλ. 20-x>0) 

γραφική παράσταση (c_f)…

μίας συνάρτησης f ονομάζουμε την απεικόνιση του συνόλου G={(x,y)/x∈D_f και y=f(x)}
σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δηλαδή το σύνολο των σημείων (x,f(x))
δηλ. τη γραμμή (αν προκύπτει γραμμή!) με εξίσωση  (c_f): y=f(x)

για παράδειγμα ας χαράξουμε τη γραφική παράσταση
της συνάρτησης   f(x)=2x² , x∈[-3/2,3/2]
με σημεία της που θα βρούμε από τον ακόλουθο πίνακα τιμών της

δεν είναι όμως κάθε γραμμή γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης

όπως για παράδειγμα η (c): x²+y²=1,                         
αφού x²+y²=1  <=>  y= ή  y= 
               (δηλ. κάθε x∈[-1,1] αντιστοιχεί σε δύο y)
η c βεβαίως σχηματίζεται απ’ τις γραφικές παραστάσεις
δύο συναρτήσεων, των: y=, x∈[-1,1]  και  y=, x∈[-1,1]

είναι φανερό ότι μία κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο!

---> κοινά σημεία (αν υπάρχουν) της c_f με τους άξονες
είναι το (0,f(0)) και τα σημεία (x_o,0) όπου x_o είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

---> η c_f βρίσκεται «πάνω» (αντ. «κάτω») από τον x΄x
για τις τιμές του x που είναι λύσεις της ανίσωσης f(x)>0 (αντ. f(x)<0)

                                      y=f(x)

είναι οι λύσεις του συστήματος      δηλ. τα σημεία με τετμημένη ρίζα της f(x)=g(x)
y=g(x)             

---> η c_f βρίσκεται «πάνω» (αντ. «κάτω») από τη c_g  
για τις τιμές του x που είναι λύσεις της ανίσωσης f(x)>g(x) (αντ. f(x)<g(x))

για παράδειγμα ας δούμε τις γραφικές παραστάσεις των f(x)=x²-1 και g(x)=x+1, x∈R

y=f(x)y=-1                      άρα η c_f έχει με τον y΄y κοινό σημείο το (0,-1)
y=f(x)x²-1=0 <=> x=-1 ή x=1  άρα η c_f έχει με τον x΄x κοινά σημεία τα(-1,0)&(1,0)
y=g(x)y=1                       άρα η c_g έχει με τον y΄y κοινό σημείο το (0,1)
y=g(x)x+1=0 <=> x=-1          άρα η c_g έχει με τον x΄x κοινό σημείο το (-1,0)

   y=x²-1       x²-x-2=0      x= -1      x=2
        <=>          <=>         ή                             
   y=x+1        y=x+1         y=0         y=3   άρα οι c_f,c_g έχουν κοινά σημεία
                                                    τα (-1,0) και (2,3)

f(x)>g(x) <=> x²-1>x+1 <=> (x+1)(x-2)>0
                          <=> x<-1  ή  x>2

άρα η c_f βρίσκεται «πάνω» από τη c_g όταν x∈(-∞,-1)U(2,+∞)
        και βέβαια «κάτω» από τη c_g όταν x∈(-1,2)

μία συνάρτηση…