ο κύκλος…

>>> κύκλο με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ρ (∈R₊) ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο
των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ίση με ρ

>>> ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση  (c):x²+y²=ρ²
η εφαπτόμενη του c στο σημείο Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση  (ε):xx₁+yy₁=ρ²

>>> ο κύκλος με κέντρο Κ(x_o,y_o) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση  (c):(x-x_o)²+(y-y_o)²=ρ²
η εφαπτόμενη του c στο σημείο Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση (ε):(x-x_o)(x₁-x_o)+(y-y_o)(y₁-y_o)=ρ²

>>> η εξίσωση  (c): x²+y²+Αx+Βy+Γ=0
  > αν Α²+Β²-4Γ> 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(-,-) και ακτίνα ρ=
  > αν Α²+Β²-4Γ=0 παριστάνει το σημείο Κ(-,-)
  > αν Α²+Β²-4Γ< 0 παριστάνει το κενό σύνολο (δηλ. δεν παριστάνει κανένα σημείο του επιπέδου)

τρεις κύκλοι…

ο κύκλος (c):(x+3)²+(y-4)²=25
οι εφαπτόμενές του από το Α(-10,5) και η εφαπτόμενή του στο Ο(0,0)…

η παραβολή…

>>> παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ονομάζουμε 
το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το Ε και τη δ.

Το μέσο του καθέτου ευθυγράμμου τμήματος από το Ε στη δ το λέμε κορυφή της παραβολής,
το μήκος του το συμβολίζουμε |p| (p∈R) και ονομάζουμε τον p παράμετρο της παραβολής.
Ο φορέας του καθέτου τμήματος από το Ε στη δ είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής.

>>> η παραβολή με εστία Ε(,0) και διευθετούσα  (δ):x=- έχει εξίσωση  (c):y² =2px
     η εφαπτόμενη της c στο σημείο της Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση  (ε):yy₁=p(x+x₁)

>>> η παραβολή με εστία Ε(0,) και διευθετούσα  (δ):y=- έχει εξίσωση  (c):x² =2py
     η εφαπτόμενη της c στο σημείο της Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση  (ε):xx₁=p(y+y₁)

>>> ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής: η κάθετη στην εφαπτόμενη μιας παραβολής 
στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζει η ημιευθεία ΜΕ με την ημιευθεία 
Μz η οποία είναι ομόρροπη της ΟΕ.

δύο παραβολές…

η παραβολή (c):y=x²
οι εφαπτόμενές της από το Α(0,-1/4) και η εφαπτόμενή της στο Β(2,4)…

η έλλειψη…

>>> έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε΄ και Ε (και εστιακή απόσταση: Ε΄Ε=2γ) ονομάζουμε 
     το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου με σταθερό άθροισμα αποστάσεων 
     από τα Ε΄,Ε το οποίο συμβολίζουμε 2α.
     Αφού:  Ε΄Ε < ΜΕ΄+ ΜΕ, ισχύει:  γ < α

>>> η έλλειψη με εστίεςΕ΄(-γ,0),Ε(γ,0)έχει εξίσωση(c):όπου:β²=α²–γ²(άρα:β< α)
     τα σημεία της Α΄(-α,0), Α(α,0), Β΄(-β,0) και Β(β,0) λέγονται κορυφές της
     το ευθύγραμμο τμήμα Α΄Α (που έχει μήκος 2α) λέγεται μεγάλος άξονας της έλλειψης 
     το ευθύγραμμο τμήμα ´ (που έχει μήκος 2β) λέγεται μικρός άξονας της έλλειψης
     οι άξονες της έλλειψης είναι άξονες συμμετρίας της
     το Ο(0,0) που το λέμε κέντρο της έλλειψης είναι κέντρο συμμετρίας της
     δύο σημεία της έλλειψης συμμετρικά ως προς Ο είναι άκρα μιας διαμέτρου της
      η εφαπτόμενη της c στο σημείο της Α(x₁, y₁) έχει εξίσωση  (ε):

>>> η έλλειψη με εστίεςΕ΄(0,-γ),Ε(0,γ)έχει εξίσωση(c):όπου:β²=α²–γ²(άρα: β< α)
     τα σημεία της Α΄(0,-α), Α(0,α), Β΄(0,-β) και Β(0,β) λέγονται κορυφές της
     το ευθύγραμμο τμήμα Α΄Α (που έχει μήκος 2α) λέγεται μεγάλος άξονας της έλλειψης 
     το ευθύγραμμο τμήμα ´ (που έχει μήκος 2β) λέγεται μικρός άξονας της έλλειψης
     οι άξονες της έλλειψης είναι άξονες συμμετρίας της
     το Ο(0,0) που το λέμε κέντρο της έλλειψης είναι κέντρο συμμετρίας της
     δύο σημεία της έλλειψης συμμετρικά ως προς Ο είναι άκρα μιας διαμέτρου της
     η εφαπτόμενη της c στο σημείο της Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση  (ε):

>>> εκκεντρότητα της έλλειψης:  ε=, συνεπώς:  0<ε<1  και   
     αν ε≈0, τότε α≈β και η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος
     αν ε≈1, τότε ≈0 δηλ.  β<<α  και η έλλειψη τείνει να εκφυλισθεί σε ευθύγραμμο τμήμα
     ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα τις λέμε όμοιες

>>> ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης: η κάθετη στην εφαπτόμενη μιας έλλειψης στο σημείο
     επαφής Ρ διχοτομεί τη γωνία  Ε΄PE

δύο ελλείψεις…

η έλλειψη (c):3x²+y²-4=0
οι εφαπτόμενές της από το Α(0,4) και η εφαπτόμενή της στο Β(1,-1)…

η υπερβολή…

>>> υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε΄ και Ε (και εστιακή απόσταση: Ε΄Ε=2γ) ονομάζουμε το
     γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου με σταθερή απόλυτη τιμή διαφοράς
     αποστάσεων από τα Ε΄,Ε την οποία συμβολίζουμε 2α.
     Αφού: |ΜΕ΄- ΜΕ|< Ε΄Ε, ισχύει:  α < γ

>>> η υπερβολή με εστίεςΕ΄(-γ,0),Ε(γ,0)έχει εξίσωση (c):όπου:β²=γ²–α²(άρα: β< γ)
     τα σημεία της Α΄(-α,0) και Α(α,0) λέγονται κορυφές της
     οι άξονες συντεταγμένων είναι άξονες συμμετρίας της
     το Ο(0,0) που το λέμε κέντρο της υπερβολής είναι κέντρο συμμετρίας της
     το ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες: x=-α, x=α, y=-β και y=β
     το λέμε ορθογώνιο βάσης της c
     και οι φορείς των διαγωνίων του δηλ. οι ευθείες  (ε₁):y=-x  και  (ε₂):y=x
     είναι ασύμπτωτες της υπερβολής
     η εφαπτόμενη της c στο σημείο της Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση  (ε):

>>> η υπερβολή με εστίεςΕ΄(0,-γ),Ε(0,γ)έχει εξίσωση(c):όπου:β²=γ²–α²(άρα: β< γ)
     τα σημεία της Α΄(0,-α) και Α(0,α) λέγονται κορυφές της
     οι άξονες συντεταγμένων είναι άξονες συμμετρίας της
     το Ο(0,0) που το λέμε κέντρο της υπερβολής είναι κέντρο συμμετρίας της
     το ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες: x=-β, x=β, y=-α και y=α
     το λέμε ορθογώνιο βάσης της c
     και οι φορείς των διαγωνίων του δηλ. οι ευθείες  (ε₁):y=-x  και  (ε₂):y=x
     είναι ασύμπτωτες της υπερβολής
     η εφαπτόμενη της c στο σημείο της Α(x₁, y₁) έχει εξίσωση  (ε):

>>> εκκεντρότητα της υπερβολής:  ε=, συνεπώς:  ε>1  και 
     αν ε>>1,τότε β>>α και η υπερβολή τείνει να εκφυλισθεί σε ζεύγος παραλλήλων ευθειών
     αν ε≈1,τότεβ<<α και η υπερβολή τείνει να εκφυλισθεί σε ζεύγος αντιρρόπων ημιευθειών

>>> ισοσκελή λέμε την υπερβολή που έχει α=β και βέβαια:  ε=

>>> συζυγείς λέμε τις υπερβολές(c₁):και(c₂): (με κοινό ορθογώνιο βάσης)

>>> ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής: η εφαπτόμενή της στο σημείο επαφής Ρ
     διχοτομεί τη γωνία  Ε΄ΡΕ

οι συζυγείς υπερβολές (c₁):9x²-4y²-36=0 και (c₂):4y²-9x²-36=0…

οι συζυγείς υπερβολές (c₁):4x²-9y²-36=0 και (c₂):9y²-4x²-36=0…